Matemática Económica II   I)     Sean u = ( 3,  4 , 0,  2,  3 ),   v = (  2, 4 ,  3, 5 , 2) y   w = (1, 2, 2, 4,  3 ). Encuentre: 1)        3u 2 v + w 2)        4v (u + 2 w) 3)        ll3u 2 v + w ll 4)        x si  2x 3 u = 2w + v   II)    Dado los conjuntos con operaciones indicadas, determine cuál es un espacio vectorial, si no lo es indique cuales axiomas no se cumplen.   1)     El conjunto de todos los pares de números reales (x, y) con las operaciones (x, y)  +  (a, b)  =  ( x + a + 1,  y + b + 1),   k(x, y)  =  (ka, kb)   2)     El conjunto de todas las matrices de 2 x 2 de la forma   con las operaciones matriciales ordinarias o estándar   III)  Determine si el conjunto de todos los vectores de la forma (a, b, c), donde b = a + c es un subespacio de R3.   IV) Cuáles  de  los  siguientes vectores son combinación  lineal  de  u = (1, 1 , 3)   y    v = (2, 4, 0) 1)     (4, 2, 6)                      2)    (1, 5, 6)   V)   Determinar si S = { (2, 1, 1), (0, 1, 1), ( 2, 2, 2)} genera al espacio vectorial R3   VI) Determinar si S = { (1, 2, 1), (2, 9, 0), ( 3, 3, 4)} genera al espacio vectorial R3 VII)         Exprese  al  polinomio    p =  5    x  +  3 x 2   como  combinación  lineal  de  los  polinomios a = 2 + x + 4 x 2,  b = 1 x  +  3 x 2   y   c =  3 + 2 x + 5 x2     VIII)       Determine la dimensión y una base del espacio solución del sistema    x 3 y +   z = 0 2 x 6 y + 2z = 0 3 x 9 y + 3z = 0     IX) Sean u = ( u1,  u2, u3 ),   v = (v1, v2, v3) vectores en R 3. Diga si es producto interior en R3, si no lo es indique cual axioma no se cumple: 1)   2)   X)   Sean u = ( 3,   3, 1 ),   v = ( 4 , 3,  2) Encuentre el producto interior usando el del ejemplo anterior inciso 2, así como el ángulo entre ellos. XI) Calcule el (u,v)=  u1v1 + u2v3+u3v2+u4v4   , dado que      si    calcule el ángulo entre los vectores.   XII)        Encontrar una base para el espacio nulo de     2  2 -1  0  1 -1   1  2 -3  1  1  1 -2   0 -1  0  0  1   1   1