a + x = bpara la incógnita x.Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, donde es el orden usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zhal 'número'o cantidad).REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS.Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .....- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......En fin, los números enteros se representan gráficamente en una recta:Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto.VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS ENTEROSEl valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe y se define del siguiente modo:Observa la recta numérica:Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:|+3| = | -3 | = 3Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROSPropiedades de clausuraSi existen tales que:y, de esto,De la clausura de la adición sobre se sigue, por definición, queSe tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedadPara cualesquiera Lo mismo cumple la multiplicación sobre Para cualesquiera Propiedades asociativasLas propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:Para cualesquiera yPara cualesquiera Propiedades conmutativasPuesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera tenemos quePara cualesquiera Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la multiplicación:Para cualesquiera Propiedad distributivaSean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos= = ===Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributivaPara cualesquiera Existencia de elementos neutrosEl cero, 0 = [(n,n)], tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos de donde por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre Enpara todo términos más sencillos,Se define como sigue:Vemos que, para todo entero [(a,b)],y, puesto que resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre Es decir,para todo pt.a+b _ cExistencia de elemento opuestoPara cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como que cumple obviamente la propiedad anterior:
