Concepto de trabajo
Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento.
Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento,
ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q
el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.
El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de
todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la
representación gráfica de la función que relaciona la componente
tangencial de la fuerza Ft, y el desplazamiento s.
Ejemplo: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm,
si la constante del muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N,
donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la
fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft·s
Ejemplo:
Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N,
cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones
de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo
es positivoSi la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el
trabajo es negativoSi la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
Concepto de energía cinética
Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una
partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el
valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial
de la fuerza es igual a la masa por la
aceleración tangencial.
En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la
derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el
tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.
Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas
que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala
después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una
resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es
de 450 m/s y su masa es de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es
-1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Fuerza conservativa. Energía
potencial
Un fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia
entre los valores inicial y final de una función que solo depende de las coordenadas. A
dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A
al punto B.
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
Ejemplo
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j
NCalcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino
cerrado ABCA.
La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y CA es la porción
del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del
vector fuerza por el vector desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través
de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos
infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la
interpretación geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx.
Donde f’(x) quiere decir, derivada de la función f(x) con
respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos
y el trabajo total en el camino cerrado.
Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos
(0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en
el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx
Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0,
La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0
El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
El peso es una fuerza conservativa
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j
cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA
hasta la posición B cuya ordenada es yB.
La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa
peso tiene la forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la
energía potencial.
La fuerza que ejerce un
muelle es conservativa
Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre
la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x>0, F=-kxPara x<0, F=kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la
posición xA a la posición xB es
La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa F vale
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la
deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, Ep=0,
de modo que la constante aditiva vale c=0.
