El procedimiento sería el siguiente.
Si llamo "p" a los perímetros del cuadrado y el triángulo (como son iguales no necesito llamarlos de distinto modo a cada uno) puedo expresar los lados de este modo:
Lado del cuadrado: p/4 (divido el perímetro entre 4 lados que tiene el cuadrado, ok?)
Lado del triángulo: p/3 (divido el perimetro entre los 3 lados que tiene el equilátero)
Y ahora, apoyándome en las correspondientes fórmulas que sabemos para hallar las áreas de las figuras, puedo expresar esto:
Área del cuadrado = lado² = (p/4)² = p²/16
Área triángulo = base x altura / 2
en este caso del triángulo hemos de recurrir a la fórmula que nos calcula la altura del equilátero en función del lado y que es esta:
Altura triángulo (h) = Lado·√3 / 2 ... sustituyendo el "lado" por su valor (p/3) sale....
h = (p/3)·√3 / 2 ... ahora sustituyo el valor de "h" en la fórmula del área del triángulo...
Área triángulo = base x altura / 2 = [(p/3)·(p/3)·√3 / 2] / 2 = (p/3)²·√3 / 4 = (p²/9·√3) / 4 =
= p²·√3 / 36
Ahora establezco la proporción entre el área del cuadrado y el área del triángulo efectuando el cociente entre las dos expresiones halladas:
p²/16 : p²·√3 / 36 = p²·36 / 16·p²·√3 ... se elimina " p² " y queda...
36 / 16·√3... y simplificando al dividir por 4 ... 9 / 4√3 ... y ya está.
El área del cuadrado es al área del triángulo como 9 es a 4√3 ... o lo que es lo mismo...
el área del triángulo es al área del cuadrado como 4√3 es a 9
Si no me equivoqué en las operaciones, ese sería el resultado del ejercicio.
Saludos.
